本站原创数学是由概念和命题组成的知识体系.概念是数学的砖瓦,概念是思维的细胞.正确理解概念是掌握基础知识的前提,学生形成概念,掌握概念和运用概念的技能是提高数学教学质量的关键.
1概念教学在教学中的作用
作为一门精确的学科,培养学生的计算能力是数学教学的重要目的之一.要使计算正确,迅速,合理,必须加强概念教学,原因有以下几点.
1.1概念可以表示量与量之间的关系
这种关系的典型例子是函数概念,函数表示两个数集(定义域与值域)之间的对应关系,当定义域中那些元素对应值域中的零时,则表现为求方程的解集合问题.学生只有深刻的理解了函数的定义——两个变量之间的对应关系,才能正确的将实际生活中涉及到两个变量的问题,转化为函数问题,进而求解.
1.2概念可以作为运算法则
有些运算法则是定义,有些运算法则是定理.如,我们定义平方根:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.虽然是以概念形式给出,而本质上是我们求平方根的运算法则.
1.3概念作为计算结果
有些概念作为运算结果,如,算术平均值,方差等.只有确切掌握这些概念,便立即可以进行计算.
1.4概念本身可推导出某些量的计算公式
有些概念定义中表面没有计算,但却可以推出某些计算公式,例如,扇形面积公式就是借助扇形概念来推导的.
综上所述,概念教学是基础的基础,只有基础打牢,学生才能概念清楚,计算准确,判断正确,推理证明合乎逻辑.只有这样才能有精力有可能去进一步解决综合性较强的题目,从而收到事半功倍之效.
2概念的内涵与外延
概念的内涵就是那个概念所包含的一切对象的共同的本质属性的总和.例如,在“平行四边形”这一概念的内涵中,包含着一切平行四边形所共有的两个本质属性,有四条边,两组对边互相平行.如果概念的内涵正确的反映现实,那么这个概念是正确的,反之,如果不符合于现实,它便是不正确的,虚伪的.
概念的外延就是适合于那个概念的一切对象的范围.如,平行四边形,矩形,菱形,正方形,这一切对象的全体,就是“平行四边形”这一概念的外延.同样,在“简单初等函数”这一概念的外延中,包含着一切类型的简单初等函数,如有理数,一般幂函数,指数函数,对数函数,简单三角函数,反三角函数等等.
概念的内涵与外延之间存在着一定的关系.如,在“平行四边形”这一概念的外延中,包含着全部的平行四边形,而其内涵则是全部平行四边形所共有的本质属性.
3概念之间的关系
为了在教学中进行概念教学时避免发生对概念区分不清的倾向,必须清楚掌握概念之间的各种关系.
3.1相容关系
两个概念的外延至少有一部分重合,这两个概念之间的关系称为相容关系.具有相容关系的两个概念称为相容概念.相容关系有三种.
3.1.1包含关系
数学概念的相互包含,表现为某个数学分支内部一个概念包含另一个概念,而这个概念是另一个概念的一般化,或此概念是彼概念的特殊情况.如,在初等几何中,等腰直角三角形是等腰三角形的特殊情况,而三角形的概念则是许多特殊三角形的一般化,包含着直角,锐角,钝角三角形的概念.
3.1.2同一关系
两个概念外延全部重合,而内涵不同,这两个概念之间的关系称为同一关系,具有同一关系的两个概念称为同一概念.例如,等腰三角形底边上的高,中线,中垂线,顶角平分线都在同一条直线上,外延全部重合,这四个概念之间有同一关系.
3.1.3交叉关系
交叉关系是内涵各不相同,而其外延有一部分重合的两个概念.如,等腰三角形和直角三角形两个概念的外延交叉在等腰直角三角形这个概念上,因为等腰直角三角形属于直角三角形,又属于等腰三角形,是二者的交集.
3.2不相容关系
两个概念的外延互相排斥,这样两个概念之间的关系为互不相容关系.不相容关系又分为对立关系和矛盾关系两种.
3.2.1对立关系
两个概念其外延互相排斥,而且其外延相加之和小于最临近的种概念的外延,这两个概念之间的关系称为对立关系,具有对立关系的两个概念称为对立概念.例如,正整数概念的内涵:大于零,整数,负整数概念的内涵:小于零,整数.正整数与负整数两个概念外延加在一起小于最临近种概念整数的外延,因为零没被包括在前二者外延之和中.
3.2.2矛盾关系
具有矛盾关系的两个概念以否定另一个概念内涵为自己的内涵,但却不肯定什么,两者外延总和是思考对象的全体.
例如,偶数,非偶数,就是具有矛盾关系的两个概念.
确定概念之间的关系,有助于正确使用概念,其中概念的包含关系与矛盾关系尤为重要.
4概念教学的原则与注意问题
4.1概念从实际引入原则
概念形成于人类的实践活动,理性认识依赖于感官认识,这就要求概念要从实际引入,教师利用现实生活中各种直观的物件、具体事实、当堂演示等手段唤起学生感性经验,作为理解概念的基础.例如:在学习中学数学最重要的“图形变换”内容——平移、轴对称、旋转时,对于这三个概念的获得,我们必须由生活中大量的实例,引导学生观察,发现其特征,然后归纳总结概念.这也是对学生数学能力的一种系统的训练.
4.2注重概念形成原则
要使学生对数学概念有透彻清晰的理解,教师首先要深入剖析概念的实质,帮助学生弄清一个概念的内涵与外延.
例如:圆周角概念有两个要素:顶点在圆上,两边都于圆相交.教师如何凸显出这两个要素,就可以在圆周角概念形成的过程中下功夫.
4.3系统性原则
任何一个概念都处于相应的体系之中,在这个体系中有一定的地位和作用,这种地位和作用在概念得到应用时才显露出来.
例如公因式的概念引入是为因式分解和化简分式用的,而化简分式是为了进行分式运算,分式运算是为了解方程等尤其是重要的基本概念在教学中一定不要吝啬时间讲清楚它的来龙去脉.
作为教师应该高度重视概念教学,深刻了解概念的特征,能在深度广度上都对概念有确切的认识,才能引导学生体会数学概念学习的必要性、关键作用.有人这样说:自己要有一桶水,才能给人一杯水.认真备课,深入钻研教材,多方吸纳优秀方法,一定会使概念教学精彩生动,硕果累累.