计算行列式的几种方法

【摘 要 】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,在数学中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式显得尤为重要,本文先阐述行列式的基本性质,然后介绍几种具体的方法,通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识,对我们以后的学习带来十分有益的帮助.

【关 键 词 】行列式,范德蒙德行列式,递推法

1.行列式的基本性质

性质1.1：行列式和它的转置行列式相等.

性质1.2：行列式中某一行元素的公因子可以提到行列式符号的外边来.或者说,用一个数来乘行列式,可以把这个数乘到行列式的某一行上.

推论1.2：如果行列式中有一行元素全为零,则行列式的值为零.

性质1.3：如果行列式的某一行（例如第i行）的元素依次是b1+c1,b2+c2,等,bn+cn,那么这个行列式等于两个行列式D1与D2之和.其中D1的第i行元素依次是b1,b2,等,bn,D2的第i行元素依次是c1,c2,等,cn,而D1与D2的其它行与原行列式的相应行一样.

性质1.4：交换行列式两行,行列式仅改变符号.

推论1.4：若行列式有两行的对应元素成比例,则这个行列式等于零.

性质1.5：把行列式某一行的元素乘以同一个数后加到另一行的对应元素上,行列式不变.

2.范德蒙德行列式

3.2 递推法.递推法是根据行列式的构造特点,利用行列式的性质,将给定的行列式表示成若干个具有相同形状以及一些容易计算的但阶数较低的行列式之和,然后利用这种关系式计算原行列式的值,最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确.这是一种比较常用的方法.

使用递推法计算行列式,一般分三个步骤,首先找出递推关系式,然后算出结果,最后用数学归纳法证明结果正确.

总结：计算行列式并无固定的方法.其实,同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算.因此,除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点,选取恰当的方法,才能较快地算清楚行列式.