例数形结合

摘 要:数形结合是中学数学重要思想之一,在高考中也占有极其重要的地位.在中学数学的各个知识点中都有体现.本文作者从实际教学中提取几个比较有典型例子来阐述数形结合,巧妙运用数形结合思想,可以化抽象为具体,效果事半功倍.

关 键 词:数形结合重要思想例题高考

笔者认为“数形结合”是中学数学中的一种重要思想,在高考中占有极其重要的地位.在多年来的高考题中,数形结合应用广泛,大多是“以形助数”,比较常见的是在解方程和不等式、函数、三角函数等问题中,巧妙运用“数形结合”思想解题,可以化抽象为具体,效果事半功倍.下面列举几个例子来说明这一点.

一、在平面解析几何中的应用

直线和圆的位置关系是高考中考查的一个重要知识点,涉及点到直线的距离公式,以及如何来判断直线和圆的位置.


例1:圆x+2x+y+4y-3等于0到直线x+y+1等于0的距离等于的点共有个.

分析及解:本题考查圆与直线的位置关系,若求点的个数,就要解方程组,二元二次方程组,计算量是很大的.但是,题目只要求点的个数,而不要求点的坐标,所以是不需要解出方程组的,因此可以借助于图形去求解.

首先画出圆C∶(x+1)+(y+2)等于(2)的图形,圆心C(-1,-2)到直线x+y+1等于0的距离为d等于等于,所以过圆心C(-1,-2)且与直线x+y+1等于0平行的直线与圆的两交点为A,B.即点A,B到直线x+y+1等于0的距离是,满足题意.又因为圆的半径是2,设半径CD垂直于已知直线x+y+1等于0,则D到直线x+y+1等于0的距离也是,点D也满足题意.

二、在函数中的应用

在三角函数中,利用数形结合的思想解决一些问题可以带来很大的方便,也容易理解,使一些抽象的问题形象化.

例2:函数f(x)等于|sinx|+2sinx,(x∈[0,2π])的图像与直线y等于k有且仅有2个不同的交点,则k的取值范围是.

分析及解:本题是含有绝对值的三角函数,直接解计算有点麻烦.

根据函数解析式,画出图像,可以直观而简明地得出答案,在有时间限制的高考中就能大大节约时间,提高解题速度.

函数f(x)等于3sinx(0≤x≤π)-sinx(π

由图像可知1

三、在方程中的应用

在方程中,有时我们会遇到非常规的方程,解起来比较繁琐,或是无从下手,比如:超越方程.它的解我们是不好去解的,但是我们可以通过图像知道其解的个数.

例3:求方程x等于2的解的个数.

分析及解:此题是属于特殊方程,等号两边是不同的函数,一个是幂函数,一个是指数函数.自变量x在不同的位置,学生无从下手.那么,我们从它们的函数图像出发,在一个直角坐标系中画出.经分析,当x>0时,函数y等于2的图像比y等于x图像的增长速度要快得多.这两个函数的图像在x<0时,有一个交点A,而在x>0时,有两个交点B(2,4),C(4,16).因此,方程x等于2有三个解.

评注:在运用数形结合法帮助解题的过程中也容易出现一些误区,例如,图形画得不够完整,不够准确,观察图形不够仔细,图形的选择不够合理等,都会出现解题错误,所以,在解题时,有时还要与运算相结合.

以上的例题只是笔者在实际教学中遇到的几个比较典型的例子,其实数形结合在数学教学和数学学习中占有相当大的比重.数形结合在很多的地方都有体现,有待我们去发现,进一步整理、补充,完善.

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