本站原创一题多解能拓宽学生的思路,培养学生思维的灵活性,用这种方法培养出的学生,有独到的见解,同时也能引导学生向创造性思维方向发展,从而适应新课改的需要.
有些几何题目,乍看平淡无奇,但细品却蕴藏着丰富的教育价值,教师结合课堂教学的需要,通过精心设计,灵活使用辅助线,就会使这些题目放出奇光异彩,这里就一道几何证明题来谈谈自己在这方面的做法和体会.
题目：如下图,已知△ABC中,AB等于AC,D是AB上的任意一点,E是AC延长线上的一点,且BD等于CE,连结DE交BC于F,求证：FD等于FE
在全等三角形复习课中,我将此题作为例题,对引导辅助线的作法进行分析,得到三种证法.（如图1）
图1
证法1：过D作MD∥AC,交BC于M,先证△DMF≌△ECF,可得FD等于FE.
证法2：过E点作EN∥AB,交BC的延长线于点N,然后证△BDF≌△NEF,可得FD＝FE.
证法３：分别过D、E作DP⊥BC,EQ⊥BC,垂足分别为P、Q,先证△BDQ≌△CEQ得到DP＝EQ,再证△DPF≌△EQF,就可得到FD等于FE.
通过讲述,不仅以题带面复习了“三角形”的有关知识,而且使学生掌握了“利用平行线构造全等三角形”的重要方法.
时隔不久,在学习“四边形”的复习课中,我又出示此题,经老师的点拨与启发,同学们有发现如下两种证法.（如图2）
图2
证法4：过D作DM∥AC,交BC于M,连结DC、ME,易证DM等于CE,得到□DMEC,所以FD等于FE.
证法5：过点D作DN∥BC交AC于N,则有
AD等于ANAB等于ACBD等于CEBD等于CNDN∥CF CN等于CEFD等于FE
课后小结时,我要求学生认真地比较五种证法的利弊与根据,让同学们体会到一道好的数学题像一首好曲子百弹不厌一样,能激发人的学习兴趣,启迪人的思维.
初三第二学期,在复习“相似三角形”时,我再次出示此题,这一次,大家明白老师的用意,很快展开热烈的讨论与认真的分析,又发现如下一种证法.（如图3）
图3
证法6：过点F作MF∥BA交AC于M,设FM等于m,易证CM等于FM等于m,设BD等于CE等于n,AB等于AC等于a,由FM∥BA可得FMDA等于EMEA,即ma-n等于m+na+n,所以 m等于12（a-n）,又由EFDE等于FMDA可得EFDF等于a-n2/（a-n）等于12,即F是ED的中点,因此,FD等于FE.
接着我一边画图,一边说：“若将此题中的条件AB等于AC去掉,点D还是AB上的点,直线DE绕点D向上旋转,当DE和AC交于点F,与BC的延长线交于点E,且BD等于FC时,求证：ACFE等于ABDE”.
师生分析其辅助线的作法,得到两种证法.（如图4）
图4
证法7：过点D作DN∥AC交BC于N,则ACDN等于ABBD,即ACAB等于DNBD,而DEFE等于DNFC,又BD等于FC,∴ACAB等于DEFE,即ACFE等于ABDE.
证法8：过F点作FM∥AB交BC于M,则ACFC等于ABFM,即ACAB等于FCFM,而DEFE等于BDFM,又BD等于FC,所以ACAB等于DEFE
图5
∴ACFE等于ABDE
在初三,复习“解直角三角形”一章时,我第四次选用此题作例题,师生共同分析又得出三种证法,由于篇幅有限,只写其中的一种.
证法9：作DN⊥BC于N,DM⊥BC于M,因为AB等于AC,所以可证 B等于3等于4,设DB等于CE等于a,在Rt△BDN中,DN等于asinB,在Rt△DNF中,DF等于DN/sin 1等于asinB/sin 1,同理可证EF等于ME/sin 2等于 asin 4/sin 2,因为1等于 2, B等于 4,所以DF等于EF.（如图5）
至此,在跨越两年的教学过程中,我根据教学内容,合理地选用此题做例题共给出九种不同的证法,而且引导学生归纳了用不同知识证线段相等的辅助线作法.
事实雄辩地证明,教师只要合理而巧妙地使用辅助线的作法,适当地做些一题多解,一题多变的习题,就能以题带面复习章节知识,使学生加深对概念、命题的认识,沟通教学知识间的联系,既巩固了双基知识,又激发学生的学习兴趣,最重要的是培养了学生勇于探索的个性品质和异向思维能力,真可谓是一箭多雕,何乐而不为呢?