本站原创函数及其表示
（★★★）必做1 若函数f（x）的定义域为[0,2],则函数g（x）等于的定义域是_________.
[牛刀小试]
精妙解法 要使式子有意义,则0≤2x≤2,
x>0且x≠1,所以0 极速突击 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,注意分式、偶次根式、对数式等. 由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束；抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系. 误点警示 本题可能出现错误解法x∈[0,2]2x∈[0,4],得出定义域为（0,1）∪（1,4],错误原因是没有搞清楚内外函数之间的关系, f（2x）的定义域应是0≤2x≤2的解集. （★★★）必做2 已知函数f（x）等于 x+,x≤0, -（x-2）2,x>0,则使f（x+1）≥-1成立的x的取值范围是________. [牛刀小试] 精妙解法 由题意知f（x+1）等于 x+1,x≤-1, -（x-1）2,x>-1, 不等式f（x+1）≥-1,等价于x≤-1, x+1≥-1 或x>-1, -（x-1）2≥-1. 解得-4≤x≤-1或0≤x≤2,所以x的取值范围是[-4,-1]∪[0,2]. 极速突击 已知函数式求值,将自变量的值代入即可；分段函数,注意自变量值的取值范围,代入相应解析式计算. 注意字母取值范围的变化. 误点警示 没有注意函数f（x+1）中自变量x取值范围的变化,即新函数分段点的改变. 函数的基本性质 （★★★）必做3 函数f（x）等于（x∈[1,3]）的值域为（ ） A. [2,3] B. [2,5] C. ,3 D. ,4 [牛刀小试] 精妙解法 因为f（x）等于x+-2,其在区间[1,2）单调递减,在（2,3]单调递增,故f（x）在x等于2处取极小值, f（2）等于2,而f（1）等于3, f（3）等于,所以函数值域为[2,3],故选A. 极速突击 函数的单调性判断方法很多,如：定义法、图象法、复合函数法、导数法等；求函数值域的方法主要有：单调性法、换元法、均值不等式法、图象法等. 误点警示 错解： f（1）等于3, f（3）等于,所以选C. 错因：没有注意到函数在[1,3]没有单调性,而直接将端点值代入. （★★★）必做4 已知函数f（x）是R上的偶函数,若对于x≥0,都有f（x+1）等于-f（x）,且当x∈[0,2）时, f（x）等于log（x+1）,则f（-2011）+f（2012）的值为_________. [牛刀小试] 精妙解法 由函数是R上的偶函数,知f（-2011）等于f（2011）, 因为x≥0,都有f（x+1）等于-f（x）,所以f（x+2）等于f（x）,即T等于2, 所以f（-2011）+f（2012）等于f（2011）+f（0）等于f（1）+f（0）等于log22+log21等于1. 极速突击 利用函数的性质（奇偶性、周期性等）,将已知区间外的自变量的取值变到已知区间内,代入解析式进行计算,是解决这类问题的常用方法. （★★★）必做5 定义在R上的函数f（x）在（-∞,2）上是增函数,且f（x+2）的图象关于y轴对称,则（ ） A. f（-1） C. f（-1）等于f（3） D. f（0）等于f（3） [牛刀小试] 精妙解法 函数f（x+2）的图象关于y轴对称,则f（x）关于直线x等于2对称. 因为函数f（x）在（-∞,2）上是增函数,所以在（2,+∞）上是减函数,所以f（-1）等于f（5） 极速突击 研究函数间的关系,通常利用函数图象的平移、翻折、伸缩等；研究函数相关区间的单调性,常用对称性（一般轴对称会改变函数的单调性,中心对称保持原来的单调性）,最典型的如奇函数和偶函数的图象特点. 函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的主要性质,理解和应用时注意抓住定义,以及反映在图象上的特征,注意数形结合.对于有关单调性问题的选择题和填空题,我们可用一些命题求解,如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数；而解决与抽象函数有关的单调性问题一般用单调性定义解决. 基本初等函数 （★★★）必做6 若函数f（x）等于 -x2+（2a-1） x 有四个不同的单调区间,则实数a的取值范围是（ ） A. a> B. C. a> D. a< [牛刀小试] 精妙解法 f（x）等于-x2+（2a-1） x 是由函数g（x）等于-x2+（2a-1）x变化得到,先去掉g（x）在y轴左侧的图象,保留g（x）在y轴右侧的图象,再作其关于y轴对称的图象. 由题意,g（x）等于-x2+（2a-1）x的对称轴在y轴的右侧,所以>0,即a>. 选C. （★★★）必做7 设a等于22.5,b等于log,c等于 ,则a,b,c的大小关系是（ ） A. a>c>b B. c>a>b C. b>a>c D. a>b>c [牛刀小试] 精妙解法 a等于22.5>20等于1,b等于log <1,所以a>c>b. 故选A. 极速突击 指数式、对数式的大小比较,可以“化同底”后利用函数的单调性比较,也可借助参照数,如0,1等比较. （★★★）必做8 若函数f（x）等于loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）满足对任意的x1,x2,当x1 [牛刀小试] 精妙解法 由题意知函数f（x）在区间-∞ ,单调递减,若设u（x）等于x2-ax+3,则y等于logau. 因为u（x）在区间-∞ ,单调递减,那么y等于logau单调递增,即a>1； 由定义域知u 等于 -a+3等于-+3>0,所以-2综上所述,a的取值范围为（1,2）. 极速突击 二次函数的单调性由开口和对称轴决定,对数函数的单调性由底数决定,复合函数的单调性由内外函数共同决定（同增异减）. 误点警示 本题易错解为a∈（1,+∞）,原因是忽略定义域的要求.对数函数、幂函数都要注意定义域（使式子有意义）. 函数与方程（不等式） 函数的图象及其应用 （★★★）必做11 函数y等于的图象大致是（ ） [y][x][O][y][x][O] A B [y][x][O][y][x][O] C D [牛刀小试] 精妙解法 函数y等于f（x）等于为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,B. 当x等于1时, f（1）等于等于0,排除C,选D. 极速突击 已知函数式选择函数图象,这类题有两种做法：直接法,结合基本初等函数的图象,用变换法（平移、翻折、伸缩等）得到图象；排除法,用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊点等判断. （★★★★）必做12 设奇函数f（x）在（0,+∞）上是增函数,且f（1）等于0,则不等式x[f（x）-f（-x）]<0的解集为_______. [牛刀小试] 精妙解法 因为奇函数f（x）在（0,+∞）上是增函数, f（-x）等于-f（x）,x[f（x）-f（-x）]<0,所以xf（x）<0. 又f（1）=0,所以f（-1）=0,从而有函数f（x）的示意图,如图2,由图观察知,不等式x[f（x）-f（-x）]<0的解集为{x -1 [y][x][O][1][-1] 图2 极速突击 抽象函数相关的不等式问题,通常根据函数的特殊点、性质,作出示意图,再根据示意图得出不等式的解集. （★★★★★）必做13 函数f（x）等于cosπx与函数g（x）等于log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为_______. [牛刀小试] 精妙解法 将两个函数同时向左平移1个单位,得到函数y等于f（x+1）等于cosπ（x+1）等于cos（πx+π）等于-cosπx,y等于g（x+1）等于log x ,则此时两个新函数均为偶函数. 在同一坐标系下分别作出函数y等于f（x+1）等于-cosπx和y等于g（x+1）等于log x 的图象,如图3,由偶函数的性质可知,四个交点关于原点对称,所以此时所有交点的横坐标之和为0, [O][y][x][1][-1][2][3][4][-2][-3][1][2][3][4][-1][-2][-3] 图3 所以函数f（x）等于cosπx与g（x）等于log x-1 的图象所有交点的横坐标之和为4. 极速突击 对于图象的交点问题（方程的根）,直接求解有困难时,利用图象观察特点,整体解决,经常还会用到数列的思想,如：特殊数列的通项、求和；合项求和等. 函数的综合应用 （★★★★）必做14 具有性质：f 等于-f（x）的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数： ①y等于x-；②y等于2x-；③y等于x,0 0,x等于1, -,x>1,其中满足“倒负”变换的函数是________. [牛刀小试] 精妙解法 当y等于x-时,f 等于-x等于-f（x）,所以①是满足“倒负”变换的函数；当y等于2x-时,f 等于-x≠-f（x）,所以②不是满足“倒负”变换的函数；当y等于x,0 0,x等于1, -,x>1时,当x>1时,0<<1, f 等于等于-f（x）,当0 等于-x等于-f（x）,所以③是满足“倒负”变换的函数. 所以满足条件的函数是①③. 极速突击 对于新定义的问题,要抓住定义的关键,充分理解定义,再一一验证. （★★★★）必做15 已知函数y等于f（x）是R上的偶函数,对于x∈R,都有f（x+6）等于f（x）+f（3）成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题： ① f（3）等于0；②直线x等于-6是函数y等于f（x）的图象的一条对称轴；③函数y等于f（x）在[-9,-6]上为增函数；④函数y等于f（x）在[-9,9]上有两个零点. 其中正确命题的序号为_______（把所有正确命题的序号都填上）. [牛刀小试] 精妙解法 因为x1≠x2时,都有>0,所以f（x）在[0,3]上递增. 因为f（x+6）等于f（x）+f（3）,令x等于-3,得f（3）等于f（-3）+f（3）,所以f（-3）等于0. 因为f（x）为偶函数,所以f（3）等于0. ①正确. 因为f（x+6）等于f（x）,所以f（x）周期为6,画出示意图如下： [y][x][O][3][6][9][-3][-6][-9] 图4 由图象知②正确,③④不正确,填①②. 极速突击 用函数性质得函数图象,用函数图象进一步研究函数性质.