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初中数学教育教学论文

回归三线八角

通过三选手段来作平行线,解决与角有关的数学问题

崇州市崇庆中学初中校区余首成

论文摘 要:本文通过一道作业题如何构筑平行线的话题,从两种不同的角度进行分析,先逐步引导学生修成两种成就:其一是修成"定题型,定方法"的学习方法上的成就,其二是修成"让知识回归到当初出现的本源状态中去"的思维方法上的成就.再因势利导学生在'知行合一"的听闻和数学精神的感悟中,将一粒为明天的理性和情感作准备的种子珍藏到心田深处..

关 键 词:平行线,几何模型,形象化比喻,数学家的创作之路,定题型,定方法回归三线八角,三选手段,坚信,坚守,本源状态,螺旋回归,知行合一,人,数学精神

正文:初一下册的学生在学完了"第二章相交线与平行线"之后,对"三线八角"的概念以及对"平行线的判定和性质"的使用有了一定程度的认识,在教学中可以尝试进行适当的拓展学习,以培养学生的数学思维,真正体现教育要面向学生的未来——注重数学思维的培养与数学精神的熏陶.

上篇

下面笔者选择如下问题作为培养学生相关数学思维的载体.如图已知:DE∥BC,试说明∠AED等于∠A+∠B

<,第一次分析>,:这道题的以知条件是DE∥BC,即已知二直线平行.笔者问学生:"平行线最容易让我们联想到什么"学生较多能回答出:"二直线平行,可得同位角相等,也可得内错角相等,还可得同旁内角互补."

待证问题"∠AED等于∠A+∠B"中涉及到了哪些角我们应不应该在图中去探索这些角与图中其它角的联系或者应不应该在图中去探索这三个角之间存在的联系同学们的回答自然表现的很肯定.

笔者放手十分钟时间让学生去探索,结果有同学用作平行线的方法解决了这个问题,也有同学用小学知识"三角形的内角和为180"解决了这个问题.但更多的同学没有找到问题的解决途径.

<,尝试一>,:笔者开始引导,在现有的图(1)中,∠AED没办法与其他角进行联系,为什么因为它没有处在三线八角的环境中.那么想到这里,同学们应该心生什么样的冲动呢片刻之后,有少数几个同学说出要延长AE,得到图(2),此时由DE∥BC,我们容易得到∠AED等于∠AFC,且大多数同学也能说出理由是:二直线平行,同位角相等,为此则原问题可转化为求证:∠AFC等于∠A+∠B,但此时∠A和∠B依然无法与∠AFC产生联系,可见此路不通.

但有些同学若有所悟,给出了如下的解题思路:∵∠A+∠B+∠AFB等于180°,又∵∠AFC+∠AFB等于180°,∴∠AFC等于∠A+∠B.笔者首先进行了表扬和肯定,然后对学生说:"这种思路完全正确,可以得满分!但我们今天的授课有一个前提是不用'三角形的内角和为180°'的知识".

〈尝试二〉:笔者继续引导,在原有的图(1)中,∠B能直接与其他角联系起来吗不能!为什么因为它没有处在三线八角的环境中.那么为了让∠B能处在三线八角的环境中,我们应该心生什么样的冲动呢很多同学说出要延长DE,得到图(3),此时由DE∥BC可得∠B等于∠AHE,于是问题转化为求证:∠AED等于∠A+∠AHE.笔者又引导说:"如果不使用三角形内角和为180°的知识,那么∠A和∠AHE仍然无法与∠AED产生联系",可见此路不通.

〈尝试三〉:通过图(2)和图(3)的探索后,同学们很容易感觉出阻碍思维继续推进的绊脚石就是∠A,于是师生都共同责怪∠A"不听话",因为它不容易转化成其它角,或说它不容易与其它角发生联系.我们解题之所以如此不顺手,全是因为∠A的位置太古怪,它不像∠B和∠AED那样表现得很"听话".∠B和∠AED生性乖巧,因其顶点本生就处在平行线上,继而极易通过平行线来与其它角取得联系.


现在为了让∠A也表现出同样的"乖巧性",我们应该心生怎样的冲动呢(有几个同学小声说过点A作平行线)笔者不太满意,又特意提点一番说:"因为∠B和∠AED的顶点在平行线上,所以用起来才会很顺手.而∠A之所以用起来不顺手,全是因为它的顶点不在平行线上,现在为了让∠A用起来顺手一点,我们就应该让∠A的顶点处在什么上"这时终于有更多学生大声说:"处在平行线上!"

好的,现在为了消除∠A给我们带来的痛苦,我们需要过点A作PQ∥DE,得到图(4),此时容易想到:

∠AED等于∠EAQ

等于∠EAB+∠BAQ

等于∠EAB+∠B,可见此路通畅.

笔者请同学们用5分钟时间把解题进程写在草稿本上.

〈问题解决〉5分钟过后,笔者开始引导学生如何把闪烁波动的思绪进行整理(很多同学说自己会想,但不知该怎样写),然后转化为符号语言,呈现为问题的书面解答形式:

证明:过点A作PQ∥DE,∵DE∥BC

∴PQ∥DE∥BC

∴∠AED等于∠EAQ,∠B等于∠BAQ

又∵∠EAQ等于∠EAB+∠BAQ

∴∠AED等于∠EAB+∠B

〈得出经验〉本题的解答过程呈现完成后,笔者开始引导学生走"数学家的创作之路",正所谓"不经历风雨,怎么见彩虹",既然师生都在本题同经历了风雨,就一定要生成心灵的彩虹.就本题而言,我们经历了尝试(一),尝试(二),尝试(三)"

学生从深刻的印象中顺口答出"截线是切刀,被截线是两根豇豆."

笔者再问"从三线八角图形的不同顶点任取两个角,这两个角的边有什么特征"

学生也快速作答"两个角共有四条边,其中必有两条边处在同一条直线上,该直线就是一把切刀,剩下来的两条边分别所在的直线就是两根豇豆."

笔者又问:"用什么方法来减轻复杂图形对我们的视觉干扰"

学生答:"一提,二看,三作答."

笔者又问:"同位角,内错角,同旁内角各有什么形状上的特征"

学生还是能比较快速作出回答:"同位角是'F'形,内错角是'Z'字形,同旁内角是'框框形'."

既然如此,我们在解决有关"三线八角"的问题时,如果图中找不到现存的"三线八角"结构,那么我们就应该动手去创造,去修补"三线八角"的图形结构,以便让问题中所涉及到的角回归到"三线八角"的环境当中去.

〈探索(一):确定"刀豆",教师引导,学生学习〉待证问题"∠AED等于∠A+∠B"中涉及到三个角,若抓住∠AED来进行研究,我们会发现在图(1)中,∠AED找不到它的同伴,原因是∠AED没有处在"三线八角"的环境中,为了让∠AED能找到它的同伴,我们就要把∠AED的"家"修补完整,让它回归三线八角的"本源之家".

我们可观察到∠AED有两条边:ED和EA(对于三线八角的图形结构来讲,这两条边中必有一条边是切刀,另一条边是豇豆),所以∠AED若要想回"家",则我们必须帮助它完成两件事:

第一件事是在以下两种配置中作出一个选择:

甲配置∠AED乙配置∠AED

第二件事是在所选配置的刀线上作出另一根豇豆线,使平行于已有的旧豇豆.

〈第一站〉帮∠AED作出甲选择:则随后需要在切刀线ED上寻找一个点来作旧豇豆EA的平行线(设这根新作的豇豆线为KN,我们作KN∥EA)"呢

尽管此时的∠AED可转化为"∠KMD或∠EMN或∠MNC",但这些角始终与∠A和∠B相去甚远,无法及时联系,可见此路不通.

〈第二站〉把豇豆KN沿着切刀DE继续向右平行推进,去寻找适合的点位生根.当豇豆与旧豇豆AE重合时,能发现什么现象

我们发现本想为∠AED预设的"家"没有修复成功,所以此路不通.

但此时我们也会很意外地发现∠AED处在另一个"家"中:DE和BC是两根平行&# 30340;豇豆,KN是切刀.此时,由DE∥BC可得∠AED等于∠ANC,但待证问题还是不能解决,所以此路不通.

〈第三站〉先把∠AED的切刀DE延伸"加长",交AB于M,我们把豇豆KN沿着切刀DE继续向右平行推进,当KN经过点M时,得到图(8).此时,由DM∥BC可得:∠AME等于∠B,由KN∥AE可得:∠AMK等于∠A,且∠KME等于∠AED

于是可知:∠AED等于∠KME

等于∠AME﹢∠AMK

等于∠A﹢∠B,可见此路通畅.

〈第四站〉把∠AED的刀线DE延伸,让豇豆KN在刀线DE上(保持KN∥AE)继续向右平行推进,当KN恰好经过点B时,得到图(9),此时由KB∥AE可知:∠A等于∠ABK,∠AED等于∠KME,又由DM∥BC知:∠KME等于∠KBC等于∠ABK+∠ABC,于是易证:∠AED等于∠A+∠ABC,可见此路也通畅.

〈第五站〉若豇豆KM(以平行于旧豇豆AE的姿态)在刀线DE上继续向右推进,得到图(10),此时∠AED回归到了三线八角的环境:平行的直线AE和KM是豇豆,直线DE是刀,虽然∠KME等于∠AED,但∠KME与∠A和∠B仍然不易联系,所以此路可暂不作考虑.

〈思维整理(一)〉刚才我们经历了从图(6)到图(10)的五次探索活动,这五次探索活动都有一个心理原因在支撑我们,这个原因就是要把∠AED的"三线八角"结构修补完整.我们的具体作法是:

(1)在∠AED的两条边中确定一刀,一豇豆(如DE作刀,AE作豆),

(2)在刀线(直线DE)上选择合适的点位,来种出另一根新豇豆,使它平行于旧豇豆AE,

(3)新豇豆(直线KM)在刀线(直线DE)上平行推进,直至找到合适的点位,安定下来,让破题思维生根发芽.

〈探索(二):刀豆互换,教师放手,学生动手〉前面的五次探索活动,我们都是选择"甲"配置,现在我们进行"刀豆互换"选择"乙"配置来尝试一下.

先抓出∠AED那么接下来的探索思路就是:如何在刀线AE上选择一个点位来种出一根新豇豆,使它平行于旧豇豆DE.

笔者准备让学生去探索,但这个问题一经提出,便得到了众人的响应,皆呼选择A点来种豆,有同学还"若有所悟"地解释说A点这个地方土壤肥沃,肥料充足.笔者让学生自行解答本题,得出如下两条思路:

思路(1):过点A作MN∥DE,则得MN∥DE∥BC,

∴∠AED+∠EAM等于180°∠B+∠EAB+∠EAM等于180°

∴∠AED等于∠B+∠EAB

思路(2):由MN∥DE∥BC,知∠B等于∠BAN,

∠AED等于∠EAN

等于∠EAB+∠BAN

等于∠EAB+∠B

笔者对学生的思路给以肯定后,又提出一个问题:我们还能在切刀AE上找到其它的点位来种出新豇豆,使它既平行于旧豇豆DE,又能打通解题思路吗请同学们进行尝试,时间为5分钟.

5分钟后,笔者问了学生:有谁种出了新豇豆吗(当然没有!)又问:在刀线AE上,除了点A,你能肯定其它点位都不适合种豇豆吗(学生也缺乏作出肯定回答的心理力量!)

于是笔者在图(12)中,用直尺在黑板上作演示,当新豇豆MN在刀线AE上,以平行于旧豇豆DE的姿态,上下平移滑动的过程中,确确实实只有点A这个位置适合种豇豆,而其它点位也确确实实不适合种豇豆.为此,笔者向学生表达了一种感叹:只有对知识理解之后,内心才会生出一种"坚信",这种"坚信"是数学的精神力量!不管是"对某个事件的可能性进行坚守",还是"对某个事件的不可能性进行坚守",这都是一种力量,一种充满心智的力量,一种从智慧的心田中泉涌出来的精神力量!只不过这种力量在未来的某一天,是继续坚守,还是果断放弃这要由我们后天的实践活动来作出定夺!

〈思维整理(二)〉前面的"探索(一)"和"探索(二)"经历了从图(6)到图(12)的思维探索过程,这些过程都是针对∠AED来进行"选刀,选豆"的探索活动的,其思路都是:先从角中选刀,再从刀上选点,最后过该点来种豆(作平行线),其目的都是:让∠AED回归三线八角.

实际上,待证问题"∠AED等于∠A+∠B"中,还涉及到∠A和∠B,那么我们是否可以把∠A抓出来,进行"选刀种豆"的研究,以便让∠A回归三线八角的"本源之家"呢抓∠B进行研究呢请同学们在作业中继续研究,尽量做得真心一点.请记住:坚守一种信念,履行一种实践,收获一种智慧,创造一种成果!

〈后记〉两日之后收作业,笔者在批阅过程中感悟颇多,这也是意料之中的事,可谓八仙过海各显"神通",笔者在本文中第一次刻意雕琢修饰:

有人如获至宝,真心诚意,有人视如草芥,虚情假意,

有人坚守信念,有板有眼,有人虎头蛇尾,半途而废,

有人道听途说,东拼西凑,有人事不关己,高高挂起,

有人初出茅庐,力不从心,有人不闻世事,销声匿迹,

我内心的感受是及其复杂的,但总的来说,在痛苦中有感动的泪花,在失望中有希望的星火,其实这也正是我今天还能在数学教育中继续前行的动力!试问天下园丁谁不期待满园的花香但若能有一枝独秀,都足以令我陶醉,足以令我在数学的庭院中坚守阵地,我守望身边的一草一木,我坚信学生的心田总会散发明心的花香,结出顿悟的瓜果,所以我每逢时机便在思维的土壤里播下种子.我不忘施肥,浇水,我期待并静静地等待,等待那新芽破土的怦然心动,等待那枝繁叶茂的赏心悦目,等待那花朵芬芳的沁人心脾,更等待那硕果累累的内在充实!

现摘取学生的思维成果(经笔者拼凑整合)奉献给读者:

若先选∠A,再选AE为刀,则有两种方法可破题,如图(13)和(14):

若先选∠A,再选AB为刀,则有两种方法可破题,如图(15)和(16):

若先选∠B,再选BC为刀,则有两种方法可破题,如图(13)和(14):

若先选∠B,再选BA为刀,则只有一种方法可破题,如图(18):

〈再谈感悟〉像这类运用平行线的性质来探索角之间关系的问题,我们可以先直接利用图中的三线八角结构来尝试解题,若没有现存的三线八角结构,则可以先尝试把一些线段进行延长来修补完"三线八角"的图形,再尝试解题,若以上探索仍无法破题,则可以通过"三选手段"发挥主观能动性(先从图上选角,后从角上选刀,再从刀上选点种豆)来创造出"三线八角"的图形结构,这样基本上可以破题.所以我把这种破题方法命名为"通过三选手段,回归三线八角",奉献给初一的学生.

〈总述〉实际上,"同位角,内错角和同旁内角"最初产生于三线八角的几何模型中,我们在解题过程中,凭借"三选手段"创造三线八角,其目的是让相关的几何元素"角"能回归到"三线八角"的"本源之家".其中的思想是:化陌生为熟悉,化残缺为完整,化未知为已知.从教师的教法和学生的学法来讲,这正是要求我们要从教材中来,又回教材中去.

前文中谈到"数学家的创作之路"简言之为:探索与继承,应用中升华,精益求精,日臻完善.那么何为升华我认为学生应从这个专题的学习中修成两种成就:

第一种成就是学习方法上的成就,一种表面上是解题方法,实质上是学习方法的成就,这种成就就是要从"古怪角"问题的成功解法中领悟出一个道理:要让"定题型,定方法"的学习技巧回归到数学学习的整个过程中去,

第二种成就就是思维方法上的成就,一种表面上是解题思想,实质上是数学思想的成就,这种成就就是要从"三线八角"图形的成功回归中领悟出一个道理:要让"几何图形元素"回归到它当初出现的本源状态中去.

这两种成就中都强调了"回归"!回归的本意是初从哪里来,终回哪里去但是这种方 法或思想的"回归",已经不再是一种简单的直线来回,而是螺旋上升之后的回归,一种有了新的领悟之后的回归.

<,深邃的领悟与自我的感动>,陶行知的教育理论中闪耀着"行而知之,知而行之,知行合一"的思想光芒.知行须合一,方可螺旋回归,不断上升.不论是数学教学中的知识与技能,还是数学教学中的方法与思想,甚至是数学教育中的思维方式,数学精神,为人之道都无不能体现着"继承中发展,应用中升华"的发展倾向,这不正是一种螺旋回归的本性使然吗

我想我们每一个人都曾经被自己感动过!既在领悟中感动,又在感动中领悟.我想对我们的数学教学而言:知识与技能为"知",解决问题为"行",方法与思想为"知",解决问题为"行",对我们的数学教育而言:思维方式为"知",解决问题为"行",数学精神为"知",追求真理为"行",法道自然为"知",道法自然为"行".

"知行合一"体现了知与行是统一体,知与行融合统一,并进推行,必然在螺旋回归中得以升华,于是知者将更加精深,行者将更加磅礴.我坚信在我们的数学教学与数学教育中,有些思想不是可有可无的,而是应该适时点播的,这些思想不求学生及时理解应用,但求学生逢时听闻目睹,所见所闻摄于心中,尘封在记忆的深处,时机一到便会明心顿悟,如饮醍醐,这正是数学精神对学生的熏陶.于是我怀着数学的精神,坚守着这样的教育思想,我守望学生的未来,所以我执意在数学教学的领域推行数学教育,真心面向学生的未来,我们深知学生有权利学到鲜活的数学,学生有权利走"数学家的创作之路",学生更有权利听闻目睹在未来人生中将会使自己受益匪浅的数学深层精髓,并将之摄于心田深处,循序酝酿醍醐.

等,所以我胆大妄为,将"知行"的统一体回归到"人性"之中,与数学庭院中的学生一起共勉:倘若把"知"作一"撇","行"作一"捺",则"一撇一捺"巧合于"人",人的思维本生就是知与行的统一体,这个"人"既是一个能在探索中继承,又能在继承中发展的鲜活的人,又是一个能在客观环境中发挥出主观能动性的抽象的人,更是一个勇于继承历史,开创未来的全体人类世界!

等最后与读者共勉先祖的智慧:"法道本自然,道者法自然",以让数学解题成为教学思维的自然流露,更让追求真理成为数学精神的本性使然!

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