本站原创摘 要 :通过例题,详细论述了在高等数学中反证法是如何应用的.
关 键 词 :反证法,高等数学,解题教学,证明,分类
笔者多年在大学数学教学第一线和研究生入学考试数学辅导中辛勤耕耘,在“解题教学”中发现在高等数学中要用反证法证明的命题屡见不鲜,反证法是一种重要的数学证明方法,这是因为有些数学命题采取反证法证明时比较简洁,还有的数学命题的证明至今除了用反证法外还没有其它的别的方法.正确理解反证法的应用是锻炼学生思维的多样性,敏捷性,灵活性的极好素材.然而许多学生又不善于运用这种方法,本文将对这个问题进行论述.
1. 反证法的含义
因为命题“P”与它的否定“非P”的真假相反,所以要证明一个命题为真,只要证明它的否定为假即可.这种从证明矛盾问题(即命题的否定)为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法.
2. 反证法的严密性
数学命题的证明就其所论证的对象是原命题还是原命题的等价命题又分为直接证明法与间接证明法,直接证明原命题的方法称为直接证明法,转而证明原命题等价命题的方法称为间接证明法.反证法是间接证明法的最主要的一种,既然反证法是间接证法,那么反证法就是通过证明原命题的等价命题,它主要表现为证明原命题的否定命题,从而证明原命题.
3. 反证法证明题的步骤
用反证法证题分为三个步骤
(1)假设命题的结论不成立,
(2) 从这个结论出发,经过推理论证,得出矛盾,
(3) 由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
即反证法的推理过程概括地讲就是:提出假设(否定结论)―推出矛盾―肯定结论(命题得证)
4. 反证法中常见的矛盾形式
(1)与已知条件即题设矛盾,
(2)与假设矛盾,
(3)与已知的定义,公理和定理矛盾,即得出一个恒假的命题,
(4)自相矛盾.
5. 反证法的分类
反证法中有归谬法和穷举法两种.如果原命题的结论的否定只有一种情况,那么只要把这种情况推翻,就可以肯定原命题结论成立.这种反证法叫做归谬法.如果原命题的结论的否定不止一种情况,那么就必须把这几种情况一一否定,才能肯定原命题结论成立,这种反证法叫做穷举法.
6. 怎样的命题适宜用反证法证明
(1) 对于结论是否定形式的命题,适宜用反证法.这类命题的结论往往是以否定的形式出现,如“不存在”,“不能表示为等”,“不等于等”,“(不)具有某种性质”,或者结论以“不是”,“都不是”形式出现,采取反证法比较容易.
例1证明:函数y等于sinx2不是周期函数
a) 设f(x)是一个整数系数多项式,证明:如果f(0),f(1)都是奇数,则f(x)不存在整数根.
证明:假设f(x)有一个整数根c,则f(x)等于(x-c)g(x),由综合除法可得,g(x)也是一个整数系数多项式,而
f(0)等于-cg(0),f(1)等于(1-c)g(1),因为-c与1-c中必然有一个是偶数,所以f(0),f(1)中必有一个是偶数,与已知
f(0),f(1)都是奇数矛盾.故假设错误,原命题成立,即f(x)不存在整数根.
(2) 对于证明结论是“唯一”或者“必然”的命题,适宜用反证法.
b) 证明:收敛数列的极限是唯一的.
例7设f(x)≥0,它在区间[a,b]上的任一子区间上不为0,在[a,b]上二次可导,并且f″(x)≥0,证明方程
f(x)等于0在[a,b]上至多只有一根.
证明:假设x1,x2(x1 即f(x)在[ξ,x2]上恒为0,与题设矛盾,故假设错误,原命题正确,即方程f(x)等于0在[a,b]上至多只有一根. 例8 设f(x),g(x)在[a,b]可导并且f(x)g′(x)≠f′(x)g(x)证明:则介于f(x)的两个零点之间至少有一个是g(x)的零点. 证明:若否,设a≤x1≤x2≤b为f(x)的两个零点,即f(x1)等于f(x2)等于0,则在[x1,x2]上g′(x)≠0, 反证法在高等数学的证明中是一种重要的证题方法,当不少数学命题的证明当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时,如果能够恰当地使用反证法,就可以化繁为简,化难为易,化不可能为可能.因此,反证法在高等数学证明命题时有着重要和特殊的地位与作用,在日常数学教学和研究生入学考试数学辅导中要充分重视反证法的教学,加深学生对相关知识的理解及提高解题的能力.