本站原创【摘 要】 本文对中国总人口数量构建随机Logistic模型,结合历史数据估计了模型参数,利用该模型对中国总人口数量进行了预测,预测结果较好.
【关 键 词 】 随机微分方程 极大似然估计 随机Logistic模型
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提之一.
假设人口增长服从Logistic模型：
（1）
其中假设其中人口增长率受到某些随机因素的影响,满足,其中代表标准的布朗运动,是白噪声,是白噪声强度.那么人口增长过程可以用如下随机微分方程来描述：
（2）
1.参数估计
李群[1]在已知或者可以估计出的条件下,给出了和的极大似然估计（取情形）：
（3）
其中：,,
.
其中环境最大容量是常数,于是假设不受随机扰动的影响,利用常微分方程估算出来的的值可以用于随机情形.在这里直接对（2）式所对应的（1）式对用数据拟合.
选取1990-2013年全国人口总数（万）来估计参数,数据[2]如表1：
由赵静[3]拟合可得环境容量等于143654.342,等于0.01021501845 98,等于0.06633254401474.
2.模拟仿真
将所得模型离散化,时间间隔取1年,得到：
,
其中为标准布朗运动在一个单位时间的增量.
通过编写Matlab[4]程序将参数带入模型进行计算可以计算出人口的拟合值：
从表2可以看到误差百分比（绝对值）都大概在0.2%左右,并且计算得到其平均值是0.2056%,模型拟合的效果非常好,利用此模型来对未来人口数量进行预测（如表1）.
图形中用’+’表示真实的人口数据,连线表示从1991年到2013年的拟合值,后面的’o’表示对未来10年（2014年到2023年）的预测值（见图1）.
3.结论与展望
通过所给数据和图形的结果可以看出,由于人口会经常受到环境白噪声的干扰,随机Logistic模型的拟合效果相当好,同时也可以看出随着时间的推移和人口的增长,人口的自然增长率呈现出负指数的下降趋势,并逐渐趋近于零,人口在十年后趋近于13.9557亿左右.而加入了随机扰动之后的Logistic模型对于预测有了更好的效果,通过检验可以看出模型的拟合效果非常显著,同时可以看出人口在二十年之后会向14.1亿左右趋近并得到平衡.