本站原创题目 如图1,椭圆x2a2+y2b2等于1（a>b>0）的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e等于12.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.
（Ⅰ）求椭圆E的方程.
图 1（Ⅱ）如图2,设动直线l：y等于kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x等于4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标；若不存在,说明理由.
笔者在对该题第（2）小题进行探讨时,发现了圆锥曲线中的一组优美性质及它的推广形式,写出拙文与读者分享.
图 2性质1 如图2,椭圆E：x2a2+y2b2等于1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）,动直线l：y等于kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与右准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆过右焦点F2.
证明 由x2a2+y2b2等于1,y等于kx+m,
得（b2+a2k2）x2+2mka2x+a2m2-a2b2等于0.
∵直线l与椭圆E只有一个公共点P（x0,y0）,∴m≠0,Δ等于0.
∴Δ等于4k2m2a4-4a2（m2-b2）（b2+a2k2）等于0,整理得m2等于b2+a2k2.
∴x0等于-2mka22（b2+a2k2）等于-2mka22m2等于-a2km,y0等于-a2k2m+m等于m2-a2k2m等于b2m.
∴P-a2km,b2m.
由x等于a2c,y等于kx+m.得Qa2c,ka2+cmc.
则F2P等于-a2km-c,b2m,F2Q等于a2c-c,ka2+cmc.
于是F2P·F2Q等于-a2km-c·a2c-c+b2m·ka2+cmc等于a4kmc-a2+a2ckm+c2+a2b2kmc+b2
等于a2k（-a2+b2+c2）mc+（-a2+b2+c2）等于0.
所以F2P⊥F2Q,即以PQ为直径的圆过右焦点F2.
图 3性质2 如图3,双曲线x2a2-y2b2等于1（a,b>0）的左、右焦点分别为F1（-c,0）、F2（c,0）,动直线l：y等于kx+m与双曲线有且只有一个公共点P,且与右准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆过右焦点F2.
证明仿照性质1的证法,此处不再赘述.
图 4性质3 如图4,抛物线x2等于2py（p>0）的焦点分别为F0,p2,动直线l：y等于kx+m与抛物线相切于点P,且与准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆过右焦点F.
证明 由x2等于2py,y等于kx+m,得x2等于2p（kx+m）.
∵直线l与抛物线相切于点P（x0,y0）,∴m≠0,Δ等于0.
∴Δ等于4p2k2+8pm等于0,由p>0,整理得m等于-p2k2.
∴x0等于pk,由y等于x22p得y0等于p2·k2.∴Ppk,p2·k2.
由y等于-p2,y等于kx+m,得Q-p2k-mk,-p2.
则FP等于pk,pk22-p2,FQ等于-p2k-mk,-p.
于是FP·FQ等于pk-p2k--p2k2k+pk22-p2（-p）等于-p22+p2k22-p2k22+p22等于0.
所以FP⊥FQ,即以PQ为直径的圆过焦点F.
综合性质1,2,3,可得
统一性质 设圆锥曲线E的一条准线为l,相对应的焦点为F,动直线l′与圆锥曲线E相切于点P,且与准线交于点Q,则以PQ为直径的圆必过焦点F.