高中数学概念教学

摘 要：概念作为教学开展的基础内容,既是数学课堂的重点,也是推动课堂深化的引伸点. 本文以此为依托,从课堂教学中数学概念的引入、概念的剖析以及概念的应用出发,对其进行了阐述,希望能够给教师在教学中借鉴参考.

关 键 词 ：概念教学；本质；质疑

从语言表述上来看,数学概念具有高度抽象性和概括性的特点,其常常将某一规律、定理以精炼而准确的语言浓缩在较短的篇幅中；从学生的接受能力来看,数学概念学习显得枯燥而乏味,单一、肤浅的教学方式往往将学生拒于数学课堂的大门之外. 实际上,理解、掌握数学概念是学习数学的源头,许多看似复杂的题目都借概念来大做文章,迷惑学生,因此,只要将概念吃透,才能够揭开这些题目的“真面目”. 本文通过探讨高中数学概念教学的途径,以提高数学教学的有效性.

概念的引入

从无到有,学生需要一个缓冲区,以减轻新知对思维产生的“冲撞”. 概念的引入意在新旧知识点或数学模型中找到一个结合点,以实现新知自然衔接、过渡的目的. 从学生思维的认知规律来说,对抽象、概括事物的认识、理解需要一个具体化、形象化的过程. 因此,教师在概念的教学过程中,要善于借用学生熟悉或感兴趣的问题情境、数学案例,以达到概念有效引入的目的.

如在学习《基本不等式≤》一课时,教师可以从其几何背景出发,来引出基本不等式≤这一概念. 教师首先可以利用多媒体向学生展示于北京召开的第24届国际数学家大会的会标,然后向学生介绍这一会标的由来：同学们,这一会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客. 接着,教师可以带领学生仔细观察这一会标,并向学生抛出问题：大家有没有发觉图案中藏着一些相等关系或不等关系呢?最后,教师可以引导学生从面积的关系去找寻数学关系,进而得出不等式≤以及其变形公式. 创设问题情境是概念引入中常用的手法,它不仅能够为概念的引入做良好的铺垫,而且还能够巧妙设疑,激发学生的好奇心和求知欲.

概念的剖析

引入概念之后,学生虽对其有了基本的印象,但仍处于一知半解的状态,易出现概念模糊、张冠李戴的现象,特别是有些数学概念概括性强,需要逐字逐句的分析、理解. 因此,教师在概念的教学过程中,要有一双慧眼,使学生在概念的剖析过程中把握其重点和注意点.

(一)剖析概念中关 键 词 的含义

某些关 键 词 是理解和掌握概念的钥匙,不少学生由于对个别学术性较强的数学用语模棱两可,从而使学习效果大打折扣. 因此,教师可以凸显出概念中的关 键 词 或学生难以理解的词语,并通过浅显易懂的方式进行讲解和剖析,确保每一位学生都赢在“起跑线”上.

如在“数列”的学习中,数列的定义为：按一定次序排列的一列数.看似简简单单的一句话,理解和掌握起来却并不容易. 很多学生对于“一定次序”四个字存在着疑惑：怎么样才算是‘一定次序’?”教师可以通过实例讲解来帮助学生理解,“同学们都知道1,2,3,4,等是数列,那么1,2,1,2,12,等是否也算是数列呢?1,2,3,4,5和5,4,3,2,1是不是属于同一数列?”在学生讨论之后,教师再向他们强调“一定次序”的含义及注意点：“1. 数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列；2. 定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.” 教师将学生的疑惑根据概念中的关 键 词 转换成具体的数学问题进行呈现,既可以使学生对概念有深入的理解,又可以解决学生的疑虑,一举两得.

(二)逐层剖析,抓住概念本质

数学概念句子前后之间逻辑性和联系性比较强,教师可以通过对句子进行逐层剖析来理清概念之间的内在联系,达到抓住概念本质的目的. 因此,教师在概念教学的过程中,要注意由浅入深地对概念进行梳理,一方面深化学生对概念的理解,另一方面以培养学生周密性、严谨性的数学精神.

如在“函数概念”的学习中,教师可以将其进行分解,在“步步深入”中推动学生认识深化：1. 设A,B是非空的数集――变量有范围限制,也就是定义域和值域；2. 按照某个确定的对应关系――说明变量之间是按照特定的关系相互联系存在的；3. 对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应――集合A和集合B存在着唯一的对应关系,换句话说,集合A中的任意一个数都能够在集合B中找到,且只能找到一个. 通过这样由表及里的剖析、讲解,学生对概念的理解也能够从表层深入到其本质.

(三)注意概念比较,归纳、区分概念的异同

有些数学概念之间联系密切,在表述上也只有细微的差别. 不少学生惯以死记硬背的方式进行记忆,因此常常出现张冠李戴的错误.为了避免学生犯此类低级错误,教师在概念的教学过程中,要注意相似概念之间的比较,并通过归纳、总结概念之间的异同,来揭示它们之间的联系和区别.

如在《集合的概念和运算》一课中,“交集”和“并集”的定义只差几个字：

交集：一般地,由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B.

并集：一般地,由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B.

“且”和“或”两字看似简单,但实际上很多学生会将两者搞混.教师可以借助简单、直观、形象的图形来比较“交集”和“并集”的区别,进而说明“且”与“或”之间的差异：“‘且’表示必须满足所有的条件,‘或’表示只要满足其中任何一个条件即可.”

概念的应用

所谓“光说不练假把式”,概念的应用意在鼓励学生在数学实例中对已掌握的概念进行运用,达到彻底吃透和消化新知的目的. 概念应用阶段是从教师讲授到学生自主探究的过程. 从“概念引入”到“概念剖析”,教师对学生的知识输入已达到饱和状态,过度的讲解反而引起学生的反感,挫伤他们学习的积极性. 因此教师要适时地将自主权交还给学生,使他们最大限度地发挥自主性,以概念为切入点,对新知进行探索,从而避免学生学习走入“纸上谈兵”的误区. （一）引入数学实例

经过“概念引入”以及“概念剖析”两个环节,学生对概念的认识和理解已经达到一定的水平,初步具有知识应用和迁移的能力. 因此,教师要善于抓住学生这一思维的“黄金时期”,引入数学案例,给予学生练习的空间,一方面以检查学生的概念学习成果,另一方面以提高学生的数学综合应用能力.

如在学习“正弦定理”之后,教师可以引入一些比较基础的数学例题进行讲解,如以下例题：

例 已知在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC等于1∶2∶3,求a∶b∶c.

这一道例题是对正弦定理的直接运用,学生在小试牛刀的过程中,不仅可以亲身体验概念在数学问题中的运用,而且还能够在成功解题中积累数学学习的信心. 学生根据正弦定理等于等于,对sinA∶sinB∶sinC等于1∶2∶3稍加变形,不难得到a∶b∶c等于1∶2∶3. 值得一提的是,这一过程的“数学实例引入”题目不易过难,最好是对概念的直接运用,否则会给学生接下来的学习造成一定的压力.

(二)倡导自主探究、协作交流

自主探究、协作交流是概念应用过程中必不可少的一个环节,随着学生对概念认识的深化,以概念为引伸点的数学探究活动对于发散学生的思维、提高他们合作探究的能力具有重要的作用. 因此,教师要在应用的过程中给学生开辟广阔的自主探究平台,使学生在动手操作、交流讨论的过程中对概念有全新的认识和理解.

如在学习“算法”一课时,教师在讲解“算法”的概念和进行一定的例题讲解之后,可以让学生回想自己一天的生活,并以“算法”的形式进行记录. 任务完成之后,以前后桌为一小组,分享彼此的记录成果,并对彼此的完成情况进行打分. 最后,小组成员共同探讨算法的一些特征以及这些特征是如何体现出来的. 学生在自主探究的过程中可以进行独立的思考,并对数学问题产生独到的见解；在合作交流的过程中,可以彼此分享经验、思想,不仅能够促进思想火花的碰撞,而且使学生汲取别人的长处,达到取长补短的目的.

(三)辨析质疑

正如亚里士多德所说：“思维从疑问和惊奇开始.” 反思、质疑是数学学习深化的重要途径. 在质疑的过程中,学生往往能够在细小的“漏洞”中,发现数学问题,窥见具有一般性的数学规律. 因此,教师在概念的应用过程中要鼓励学生敢于质疑、敢于发问,以培养他们的思辨能力和质疑精神.

如在学习“函数”的概念之后,不少学生虽然对“定义域”印象深刻,但在实际题目的运用中往往抛之脑后,忽略了定义域优先的原则. 当错误出现时,教师不必马上点名,可以放慢教学速度：“同学们,你们对这一解题过程是否有什么补充或者其他的见解?”这一停顿不仅能够引起学生的注意,而且还能够使他们有足够的时间来反思解题过程.学生在教师的引导下,马上提出质疑：“虽然得出两个答案,但是带入到原式中检验,却是无效的,是不是我们疏忽了什么?”学生主动质疑不仅能够加深学生对知识点的理解,而且还能够培养学生敢于质疑的精神.

结束语

数学概念的学习是学生从“产生印象――认知形成”的思维提升过程,从“概念引入”到“概念运用”,其都应遵循学生的思维认知规律,以提高数学概念教学的效率. 另外,数学概念是对数学模型、数学问题一般化、概括化和抽象化后形成的定理、规律,因此,教师在教学的过程中,应将其重新置于具体的现实数学原型中,依托形象生动的数学案例,为学生提供自主探究、合作交流的平台,从而使学生在实际的应用中提高对概念的运用能力和知识迁移能力.